A Paternidade do Cálculo

Um dos embates mais conhecido da história da matemática e a paternidade do calculo. Dois grandes nomes da matemática e da física estão envolvidos. Isaac Newton e Gottfried Wilhelm von Leibniz. Umas das questões enfrentadas pelos criadores do calculo foi a determinação da velocidade e da aceleração de um corpo num dado instante t.

Newton escreveu um tratado sobre os fluxos. Seu trabalho não foi imediatamente publicado, mas muitos matemáticos da época o conheciam de forma que o tratado exerceu grande influência sobre o desenvolvimento do cálculo naquele período. Ele iniciou suas considerações tratando uma curva como sendo a trajetória de uma partícula, dada por suas coordenadas em função do tempo. Em linguagem moderna ele representava a curva de uma função sob a sua forma paramétrica, usando o tempo como parâmetro - uma forma bastante apropriada para quem deseja estudar o movimento de uma partícula. A velocidade no sentido horizontal x˙ e a velocidade vertical y˙ eram os fluxos de x e y associados à passagem do tempo. Com esta notação y˙/x˙ representa a tangente à curva f(x,y)=0.

 Newton discute o problema inverso. Dada a relação entre x e y˙/x˙ procurava-se encontrar y. Desta forma a inclinação da tangente era dada para cada x. Considerando conhecida a inclinação a cada instante, Newton resolvia o problema por antidiferenciação (integração). Ele também usou o mesmo processo para calcular áreas e, pela primeira vez na história, ele afirma claramente o Teorema Fundamental do Cálculo, que estabelece a conexão entre os processos de derivação e de integração.

Para Newton a integração consistia de se encontrar fluentes para um dado fluxo, e desta forma, a complementaridade da diferenciação e da integração como operações inversas estava implícita. por ele chamado de método dos fluxos, nessa obra Newton demonstrou a maioria das provas com argumentos geométricos motivado pela questão do coeficiente angular da reta tangente a uma curva.

Seu Cálculo Integral era chamado de Cálculo de Fluentes.

Inspirado por Napier e Cavalieri, fundamentou suas ideias em duas noções básicas: a de fluente e a de fluxão. Em suas próprias palavras:

“Vejo as grandezas não como formadas de partes infinitamente pequenas, mas como descritas por movimento contínuo:

linhas (descritas pelo movimento contínuo de pontos), superfícies (descritas pelo movimento contínuo de linhas), ângulos (descritos pelo movimento contínuo rotacional de seus lados) e o tempo por um fluxo contínuo O que determina o valor de uma grandeza é a velocidade de seu crescimento”

Em termos mais objetivos: os fluentes eram as grandezas geradas e as fluxões as velocidades de movimento dessas grandezas. Ou seja: o fluente corresponde a integral e a fluxão a derivada.

Para Newton, o Cálculo tinha dois problemas básicos:

• Problema das fluxões: dada relação entre fluentes: f(x,y)=0, achar a relação y'/x' entre as respectivas fluxões
• Problema dos fluentes: dada relações entre fluxões, como F(x', y', x ,y ) = 0, achar os fluentes.

Note que um exemplo é a relação y'/x' = f(x) que corresponde a resolver a equação dy/dx = f(x) ( ie corresponde a um problema de primitivação ). Outro exemplo é a relação y'/x' = f(x,y) que corresponde a resolver a equação diferencial dy/dx = f(x,y).

Em Paris por volta de 1673, Leibniz começou a desenvolver os princípios de sua versão do cálculo. Consciente de que, para o pleno desenvolvimento de uma ferramenta matemática, era necessária a adoção de uma notação consistente e de fácil manipulação ele dedicou um bom tempo para o estabelecimento de sua notação que é basicamente a mesma que usamos até hoje. É sabido que suas primeiras anotações eram confusas e de difícil leitura. Já em 1675 ele escreveu um artigo manuscrito onde usava pela primeira vez a notação f(x)dx. No mesmo artigo ele apresentou a regra para a diferenciação de um produto. Em 1676 Leibniz apresentou a diferenciação de

dxⁿ = nxⁿ⁻¹dx,

para n inteiro ou fracionário.

Leibniz tinha consciência de que a definição e adoção de uma boa notação eram de fundamental importância e se dedicou com esforço a esta questão. Por outro lado seu rival, A notação de Leibniz, dx, enfatizava o aspecto de operador da derivação, o que se revelou muito importante para o progresso posterior da disciplina. Até o ano de 1675 Leibniz já tinha estabelecido a notação

∫xdx=x²/2,

que é exatamente a notação usada nos dias de hoje. Seus resultados em cálculo integral foram publicados em 1684 e 1686 sob o nome de Calculus Summatorius. O nome moderno, cálculo integral, só apareceu como sugestão Jacob Bernoulli, em 1690.

Em 1684 Leibniz publicou em detalhes seu método sobre o cálculo diferencial em um jornal denominado Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus... in Acta Eruditorum. Neste artigo ele usa a notação hoje familiar de df para a diferencial de uma função, as regras para a derivação de potências, produtos e quocientes de funções. No entanto nem todas as demonstrações estavam presentes. Em 1686 Leibniz publicou um novo artigo sobre o cálculo integral.

O livro de Newton, Principia, apareceu no ano seguinte. O método dos fluxos foi desenvolvido em 1671 mas permaneceu não publicado até 1736, com a tradução para o inglês de John Colson. Este atraso na publicação, em grande parte motivada pela relutância de Newton em aceitar a exposição e críticas dos colegas matemáticos foi o responsável pelo conflito e disputas com Leibniz.

Perto do final de sua vida Leibniz foi acusado de Plágio por matemáticos ingleses, o que lhe levou a amargura e ao ostracismo. Porem a verdade mostra que os dois de cada um a seu modo, foram formidáveis. É inegável o grande avanço no Calculo diferencial e integral, Newton e Leibniz contribuíram grandiosamente pra essa evolução. E que de forma independente eles chegaram aos resultados que podemos dizer que se complementam.

Por Raisa Dias

Leia mais em: http://euler.mat.ufrgs.br/~portosil/newton.html

                        http://phylos.net/matematica/hist-calculo/hc-cap2/